기초과학 발전의 기반이 된 방정식들
인류 역사의 변화
고도화된 방정식이 만든 새로운 세상\
[객원 에디터 3기 / 하민솔 기자] 처음에는 방정식이 기초과학을 발전시키는데 이용됐지만, 더 많은 방정식들을 발견하고 창조해내면서 이들은 응용과학, 공학 등에 적용 되어 한층 더 고도화된 세상을 만들었다. 이러한 방정식들은 인류의 역사를 바꿔놨으며 현재 우리 삶에도 적용되고 있다.
미적분 (Calculus): 아이작 뉴턴 (Isaac Newton), 1668
미적분은 ‘수학의 꽃’이라고 불릴만큼 현대 과학에서 중요한 개념 중 하나인데, 이는 수학뿐만 아니라 물리와 같은 과학 분야에서도 기초적이고 필수적이기 때문이다. 미분은 함수의 순간 변화율로 국소적인 변화를 나타내며 함수의 기울기를 나타내는 반면, 적분은 정의된 함수의 그래프와 그 구간의 넓이를 구하는 방법을 나타낸다.
미분 방정식은 열전도 현상, 바이러스의 증식 진동현상, 방사성 원소 붕괴 등에서 지수/로그함수와 같이 사용되며 유체역학, 전자기학 등 공학 분야에서도 미적분을 빼놓을 수가 없다. 또한 천문학에서도 천체들의 움직임을 예측하는 데에도 미분방정식이 흔히 쓰인다. 건축학에서도 곡선의 접선을 이용해 도로를 만들고 무인카메라에서도 카메라 앞의 감지선을 지나가는 데 걸리는 시간과 속도를 계산해 과속을 판단한다. 적분은 항공우주나 의학 쪽에서 이용되다. 예를 들면, CT는 인체의 여러 각도에서 엑스선을 측정하고, 단면에 대해 흡수 치를 재구성하는데, 이를 통해 신체 부위를 2차원, 3차원 영상으로 나타내는데 구분구적법의 개념을 사용하게 된다.
피타고라스 정리 (Pythagorean Theorem): 피타고라스(Pythagoras), 530 BC
피타고라스 정리는 고대 그리스의 철학자이자 수학자였던 피타고라스가 발견한 공식이다. 이 공식에 대한 증명은 400여 가지에 이르고 있으며 소개할 방정식 중, 가장 쉬운 공식일것이다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 가장 긴 변인 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두변의 길이의 제곱의 합과 같다는 공식이다.
두 변의 길이가 주어진다면, 나머지 한 변의 길이를 쉽게 구할 수 있다. 때문에 이 공식은 건축, 건설, 구조 탐색, 항해 및 측량 등에 쓰이고 있다. 예를 들어서, 지붕의 면적을 계산할 때, 지붕의 높이와 가로길이를 알고 있다면, 지붕 경사면의 대각선 길이를 쉽게 구할 수 있다. 피타고라스의 정리는 2차원 탐색에도 유용한데, 두 길이를 이용하면 항해도 제작 시에 최단 거리를 찾을 수 있기 때문이다. 또한 항공항법에도 적용되는데, 비행기의 고도와 공항까지의 거리를 알면 공항으로 착륙을 시작할 때 정확한 위치를 찾을 수 있다.
로그 (Logarithm): 존 네이피어 (John Napier), 1610
로그에 대해 알기 전에는 지수에 대해서 알아야 하는데, 지수는 어떤 수 a의 오른쪽 어깨 부분에 숫자 x를 붙인 형태로 a를 x번 거듭제곱한 상태를 말한다. 로그는 지수함수의 역함수로서 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱해야 하는지를 나타낸다. 만약, a를 x번 거듭제곱한 형태가 N이라면 로그함수의 밑은 a가 되고 진수는 N이 된다.
로그는 큰 물리량을 간편하게 표현할 수 있다. 로그는 수소이온 농도를 알려주는 pH에도 쓰이는데, 수용액에서 수소 이온이 10의 -7승 g가 존재한다면, pH는 7이 된다. 또한 지진의 규모와 진도 등에도 이용되며 단위가 크며 많은 계산을 하는 천문학이나 데이터 분석에서도 로그가 사용된다.
정규분포 (Normal Distribution): 가우스 (Carl Friedrich Gauss), 1810
정규분포는 데이터 분포를 근사하는데 자주 사용되며 통계학에서 가장 대표적인 연속 확률 분포 중 하나이다. 정규분포는 평균 μ과 표준편차 σ에 의해 모양이 결정되며 분포를 N (μ, σ 제곱)이라고 표시하고, 평균 μ이 0이며 표준편차 σ가 1인 정규분포를 표준분포라고 부른다.
최근 코로나19로 인해 통계가 많이 사용되고 있는데, 이때 정규분포가 다양하게 이용되고 있으며 수능 등급 컷 예측 등에서도 사용되고 있다. 모집단이 정규분포를 따르면 표본 평균도 정규분포를 따른다. 전체 집단에 대해 전수 조사는 불가능하기 때문에 일정 표본만 조사해, 적은 시간과 비용으로 전체 집단에 관한 정보를 추정할 수 있다. 또한 정규분포를 따르지 않아도 유사하게 성립되는데, 모집단의 평균과 분산 등을 모르더라도, 표본 집단을 대상으로 평균과 분산 등만 알면 정보를 추정할 수 있다.
나비에-스토크스 방정식: 클로드 루이 나비에 & 조지 가브리엘 스토크스, 1845
나비에-스토크스 방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 방정식이다. 이 방정식은 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)과 오일러의 유체역학 방정식(유체의 질량, 운동량 및 에너지의 보존에 관한 방정식)을 바탕으로 운동량 보존 법칙을 나타낸다.
방정식의 좌변은 가속도에 관한 항이고 우변은 유체에 작용하는 단위 질량 당 힘을 나타낸다. 유체에 작용하는 압력(p), 외력이 재료에 작용할 때 그 내부에 생기는 저항력(T), 물리적 접촉 없이 유체 자체의 체적 전체에 분포되어 작용하는 힘(f) 등에 의해 유체의 가속도가 결정된다. 물리학과 공학의 대부분 분야에서 사용되고 있으며, 물리학 외에도 대기 대양 모델, 생체 내 혈류의 흐름, 천문학에서 은하 내 별들의 움직임, 플라즈마의 움직임에도 사용된다.
